Papp a hivatásosok között 1962-ben Európa-bajnoki címet is szerzett, amit hatszor védett meg. 1964-ben esélye nyílt arra, hogy a profi világbajnoki címért léphessen szorítóba, de a sportvezetés máig nem tisztázott, de bizonyosan politikai okokból ezt nem engedte, s pályafutása befejezésére kényszerítette; ezt a méltánytalanságot soha nem tudta kiheverni. 1989-ben a WBO profi ökölvívó világszervezet tiszteletbeli világbajnokká nyilvánította és átadta neki az övet, elismerve, hogy nincs nála méltóbb tulajdonosa. A KO-királynak nevezett Papp, akinek legfélelmetesebb fegyvere a rettegett balhorog volt, a sportszerűség példaképe volt, egyik profi ellenfele a „ring lovagjának” nevezte.
Visszavonulása után edzőként dolgozott, 1969-ben mesterével, Adler Zsigmonddal a válogatott vezetését vették át. Új edzésmódszert, személyre szabott versenyeztetést és kemény edzésmunkát vezettek be, tanítványaiktól a magánéletben is sportemberhez méltó magatartást követeltek, s olyan kiváló bokszolókat neveltek, mint az 1972-ben olimpiai bajnok Gedó György, valamint Badari Tibor, Kajdi János. Papp László rövid ideig saját boksziskolát is működtetett, élete utolsó évtizedében – amíg egészsége engedte, Parkinson-kórban szenvedett – edzőként sportegyesületeknek segített.
Számos kitüntetéssel ismerték el, többi között 1982-ben NOB Érdemrenddel tüntették ki, 1991-ben a magyar Halhatatlanok Klubjának tagja, 1992-ben a Magyar Ökölvívó Szövetség örökös tiszteletbeli elnöke lett. Példaszerű sportkarrierje elismeréseként 1993-ban Nemzetközi Fair Play-díjjal tüntették ki. Megkapta az Olimpiai Érdemrendet, a Magyar Köztársasági Érdemrend Középkeresztjét (1996), valamint a Millenniumi Ezüst Emlékérmet (2001). 1999-ben a világ sportújságírói a világ 25 legjobb sportolója közé választották, 2001-ben bekerült a Nemzetközi Ökölvívó Hírességek Csarnokába, a 20. század harmadik legjobb magyar férfi sportolója címmel tüntették ki, megkapta a Csík Ferenc-díjat, valamint Budapest, a XIII. kerület, később posztumusz a Hegyvidék díszpolgára lett.