Székhelyi 1971-ben végezte el a Színház- és Filmművészeti Főiskolát, karrierjét ezt követően a kecskeméti Katona József Színházban kezdte. 1979-től a Nemzeti Színházba szerződött, majd 1983-ban a Madách, 1992 és 1994 között az Arizona Színház tagja is volt. 1994-ben szerződött Sopronba, 1998 óta pedig a Soproni Petőfi Színház és a budapesti Nemzeti (2000 óta Pesti Magyar Színház) munkatársa volt.
Pályafutása Szegeden folytatódott: 2003 és 2008 között igazgatta a Szegedi Nemzeti Színházat, 2014-től a Veres 1 Színház társuladának tagja volt. A Szegedi Nemzeti Színháztól 2013 februárjában vonult nyugdíjba.
Székhelyi József 1995-ben nyerte el a Magyar Köztársasági Érdemrend kiskeresztjét, 2010-ben pedig tisztikeresztjét. Munkáját közel száz filmből, tévéfilmekből, sorozatokból, valamint számos szinkronból ismerheti a nagyérdemű. Játszott a Végre hétfő, a Szabad lélegzet, a Ki látott engem?, a Csak semmi pánik, a Házasság szabadnappal, a Gyerekrablás a Palánk utcában, a Látástól vakulásig és a Napos oldal című filmekben is, a Simpson család amerikai rajzfilmsorozatban pedig sokan a főszereplő Homer Simpson magyar hangjaként ismerhették.