Ráeresztettük a nyelvi modellt a matek feladatsorra, ez lett a vége.
Kijött a hivatalos javítási útmutató szerdán, cikkünket frissítettük.
Megkértük a ChatGPT-t, hogy próbálja meg megoldani a keddi középszintű matematika érettségit. A nyelvi modell nem pont a legalkalmasabb a matematikai feladatok megoldására, viszont így se lett olyan rossz eredménye a gépnek. A megoldások értékeléséhez a Studium Generale megoldásait használtuk, a ChatGPT megfejtéseit aranykeretbe foglalva olvashatják.
Viszont meglepően jól sikerült neki a matematika érettségi. De nézzük is!
Egy akció során az eredetileg 21000 ft-os cipő árát 20%-kal csökkentették. Mennyi a cipő csökkentett ára?
Ha az eredeti ár 21000 forint volt, és azt 20%-kal csökkentették, akkor a cipő ára a következőképpen változott:
Csökkentett ár = eredeti ár - (eredeti ár * 20%)
Ahol az eredeti ár 21000 forint.
A számításokat elvégezve:
Csökkentett ár = 21000 - (21000 * 0,20)
Csökkentett ár = 21000 - 4200
Csökkentett ár = 16800
Tehát a cipő csökkentett ára 16800 forint.
A megoldás helyes, 2 pont.
Hány éle van egy hétpontú teljes gráfnak?
Egy n pontból álló teljes gráfban az összes pontpár között élek vannak, azaz minden pont össze van kötve az összes többi ponttal.
Egy hétpontú teljes gráf esetében tehát minden pont össze van kötve a többi hat ponttal, így összesen (7-1) = 6 él van minden pontban.
A teljes gráf éleinek számát a következő képlettel lehet kiszámítani:
n * (n-1) / 2
Ahol n a pontok száma.
A hétpontú teljes gráf esetében tehát:
7 * (7-1) / 2 = 21 éle van.
A megoldás helyes, 2 pont.
A harmadik feladatnál már egy apró problémába ütközik a nyelvi modellel kísérletező ember, ugyanis az inputként csakis normál karaktereket tud értelmezni, így a halmazműveletek jelölésrendszereit pedig csak „magyarra lefordítva” lehet betáplálni. Így az érettségi feladatot is át kellett írni.
Az alaphalmaz legyen az egyjegyű pozitív egész számok halmaza. Az alaphalmaz részhalmazai közül az A halmaz legyen a prímszámok halmaza, a B halmaz pedig legyen a 3-mal osztható számok halmaza.
Elemei felsorolásával adja meg a B halmaz komplementer halmazát és az A és B halmazok különbségét!
Az egyjegyű pozitív egész számok halmaza: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Az A halmaz a prímszámok halmaza, tehát: {2, 3, 5, 7}
A B halmaz a 3-mal osztható számok halmaza, tehát: {3, 6, 9}
A B halmaz komplementer halmaza azon egész számok halmaza, amelyek az alaphalmazban vannak, de nem szerepelnek a B halmazban. Tehát:
{1, 2, 4, 5, 7, 8}
Az A és B halmazok különbsége azon elemek halmaza, amelyek az A halmazban vannak, de nem szerepelnek a B halmazban. Tehát:
{2, 5, 7}
Tehát az eredmények:
B halmaz komplementer halmaza: {1, 2, 4, 5, 7, 8}
A és B halmazok különbsége: {2, 5, 7}
A megoldás helyes, 3 pont.
(Mivel a negyedik feladat függvényábrázolós volt, az nem megoldható ChatGPT használatával, így azt mesterséges értelemszerűen kihagytuk.)
Adja meg a 420 és az 504 legnagyobb közös osztóját!
A legnagyobb közös osztó (greatest common divisor, GCD) meghatározásához használható az Euklideszi algoritmus, amely során a két számot egymásból való kivonással és az így kapott különbséggel folyamatosan csökkentjük a számokat, amíg el nem érünk két azonos számot.
420 és 504 legnagyobb közös osztójának meghatározása:
504 = 1 * 420 + 84
420 = 5 * 84 + 0
Mivel a második osztás maradéka 0, így az 504 és 420 legnagyobb közös osztója az az utolsó nem nulla maradék lesz, amely az első osztásnál keletkezik. Tehát a 420 és 504 legnagyobb közös osztója 84.
Tehát a 420 és 504 legnagyobb közös osztója 84.
A megoldás helyes, bár azt javasoljuk minden kedves érettségiző diáknak, hogy középszintű matematika érettségin maradjon a feladat prímtényezős felbontásánál, s ne az euklideszi algoritmussal oldja meg a legnagyobb közös osztó kérdését. 3 pont.
Adott az A(2;4) és a B(3;-1) pont a koordináta-rendszerben. Írja fel az AB vektort a koordinátáival!
Az AB vektor koordinátáit az A és B pontok koordinátáinak különbségeként lehet kiszámítani. Tehát:
AB = B - A
A(2, 4) és B(3, -1) koordinátái ismertek, így az AB vektor koordinátái a következőképpen számíthatók:
ABx = Bx - Ax = 3 - 2 = 1
ABy = By - Ay = (-1) - 4 = -5
Tehát az AB vektor koordinátái (1, -5).
A megoldás helyes, 2 pont.
Egy mértani sorozat második tagja is 6, harmadik tagja 9. Számítsa ki a sorozat első hat tagjának összegét!
A mértani sorozat általános képlete: an = a1 * q^(n-1), ahol an az n-edik tag, a1 az első tag, q pedig a sorozat hányadosa.
A feladat szerint az a2 = 6, az a3 = 9, tehát:
a2 = a1 * q
a3 = a1 * q^2
A két egyenletet egymással osztva kapjuk:
a3/a2 = q
9/6 = 3/2 = q
Tehát a sorozat hányadosa q = 3/2.
Az első hat tag összege:
S6 = a1 * (q^6 - 1)/(q - 1)
Az első tagot a2 = 6-ból kiszámolhatjuk:
a2 = a1 * q
6 = a1 * (3/2)
a1 = 4
Tehát az első tag a1 = 4.
Behelyettesítve az értékeket az összegképletbe:
S6 = 4 * ((3/2)^6 - 1)/(3/2 - 1)
S6 = 4 * (729/64 - 1/1.5)
S6 = 4 * (729/64 - 32/24)
S6 = 4 * (729/64 - 48/64)
S6 = 4 * (681/64)
S6 = 42.515625
Tehát a mértani sorozat első hat tagjának összege 42.515625.
Itt kirí, hogy nem a legjobb ötlet egy nyelvi modellt használni matematika feladatok megoldására. Ugyanis bár jól kiszámolja a sorozat hányadosát, valamint a sorozat első elemét is, és az összegképletbe helyesen helyettesített be, azt már mégsem bírta értelmezni megfelelőképpen. Látható, a második sorban elcsúszik a számolás (dőlt betűkkel jeleztük azt a sort, ahonnan hibás), ugyanis a 3/2-1 műveletre valahogy 1,5 jön ki neki, amit aztán rosszul ír be a törtvonal alá.
A megoldás hibás, viszont a javítási útmutató szerint a hibátlan részekre 2 pont jár. A helyes megoldás egyébként: 83,125.
Hány olyan háromjegyű pozitív egész szám van, amelynek számjegyei különböző páratlan számok?
A háromjegyű pozitív egész számok közül a 0-val kezdődők nem számítanak bele, tehát az első számjegy csak 1 vagy 3 vagy 5 vagy 7 vagy 9 lehet. Ha az első számjegy meg van határozva, akkor a második számjegy csak az előzőleg használt számok közül bármelyik páratlan szám lehet, amely még nem szerepel az adott számban. Az első két számjegy kiválasztása után a harmadik számjegy már automatikusan meg van határozva.
Tehát összesen 5 lehetőség van az első számjegy kiválasztására, majd 4 lehetőség marad az első kiválasztott szám után a második számjegyre, így a háromjegyű számok száma, amelyeknek különböző páratlan számjegyei vannak:
5 * 4 * 3 = 60
Tehát 60 olyan háromjegyű szám van, amelynek számjegyei különböző páratlan számok.
A megoldás helyes, 2 pont.
Tekintsük a következő állítást! Minden út Rómába vezet. Az alábbi állítások közül válassza ki azokat, amelyek tagadásai ennek az állításnak!
A: Nincs olyan út, ami Rómába vezet.
B: Van olyan út, amelyik nem Rómába vezet.
C: Semelyik út nem vezet Rómába.
D: Nem minden út vezet Rómába.
A tagadás az eredeti állítás szempontjából azt jelenti, hogy van legalább egy olyan út, amely nem Rómába vezet.
A válaszok tagadásai:
A: Van olyan út, ami Rómába vezet.
B: Minden út Rómába vezet.
C: Legalább egy út vezet Rómába.
D: Van olyan út, amelyik Rómába vezet.
Tehát a helyes válaszok a B és a D.
Egészen érdekes, ám nem túl meglepő módon a gép belegabalyodik a matematikai logikával foglalkozó kérdésbe. Megpróbálja a lehetséges válaszoknak a tagadását leírni, viszont valószínűleg azért, mert eredetileg angol nyelven fejlesztették ki, hibázik. Viszont helyes válaszként a ténylegesen helyes válaszokat jelöli meg, így hát jár a 2 pont.
Adott a 2x+5y=19 egyenletű f egyenes. Adja meg az f egyenes és az y=5 egyenletű egyenes metszéspontjának koordinátáit!
Az f egyenesre felírva y kifejezést kapunk:
2x + 5y = 19
5y = 19 - 2x
y = (19 - 2x) / 5
Az y=5 egyenesre felírva pedig x kifejezést kapunk:
y = 5
A két egyenletben az y értéke megegyezik, így behelyettesítve az egyenletbe:
5 = (19 - 2x) / 5
25 = 19 - 2x
2x = -6
x = -3
Tehát az metszéspont koordinátái (-3, 5).
A megoldás helyes, 2 pont.
Számítsa ki az 1989 cm3 térfogatú gömb sugarának hosszát!
A gömb térfogatának képlete:
V = (4/3) * π * r^3
Itt V = 1989 cm^3, tehát:
1989 = (4/3) * π * r^3
Ebből a sugár kifejezhető:
r = ∛(1989 / ((4/3) * π))
r ≈ 6,35 cm
Tehát a gömb sugarának hossza kb. 6,35 cm.
Itt is ugyanabba a hibába esik bele a gép: jól értelmezi a feladatot, viszont az egyenletrendezés és behelyettesítés kifog rajta. Egészen pontosan jelen esetben az egyenletrendezést jól végzi el, helyesen írja fel r-re rendezve, viszont az egyenletet teljesen hibásan oldja meg. 0 pont, ugyanis a javítási útmutató is csak a végeredményt díjazza. A helyes megoldás r≈7,802
Egy kék és egy piros szabályos dobókockával dobva mennyi a valószínűsége annak, hogy a kék kockával nagyobb számot dobunk, mint a pirossal?
Mindkét kocka hat oldalú, és mindegyik oldalon egy-egy szám van 1-től 6-ig. A kék kocka dobásának eredménye független a piros kocka dobásától, ezért az összes lehetséges dobás száma a két kockával együtt a hat oldalú kockák összes lehetséges dobásainak szorzata:
6 * 6 = 36
Azok az esetek, amikor a kék kockával nagyobb számot dobunk, mint a pirossal, a következők:
Kék: 2, piros: 1
Kék: 3, piros: 1
Kék: 4, piros: 1
Kék: 5, piros: 1
Kék: 6, piros: 1
Kék: 3, piros: 2
Kék: 4, piros: 2
Kék: 5, piros: 2
Kék: 6, piros: 2
Kék: 4, piros: 3
Kék: 5, piros: 3
Kék: 6, piros: 3
Kék: 5, piros: 4
Kék: 6, piros: 4
Kék: 6, piros: 5
Összesen 15 ilyen eset van, tehát a valószínűség:
P = 15/36 ≈ 0,417
Tehát a valószínűsége annak, hogy a kék kockával nagyobb számot dobunk, mint a pirossal, kb. 0,417 vagy 41,7%.
A megoldás helyes, 4 pont.
Helyzetértékelés az érettségi féltávján: az első rész 12 egyszerűbb, rövidebb feladataival nagyrészt megbirkózott, kivéve ott, ahol grafikus ábrázolás kellett volna, meg ott, ahol egyenletekkel kellett volna „zsonglőrködni”. Összesen 20 pontot ért el a harmincból.
A matematika érettségi második része két alrészre van osztva. Az A rész minden feladata kötelező, a B részben kitűzött 3 feladat közül csak kettőt kell megoldania. Mintha érettségiző diákok lennénk, itt azt hagytuk ki, amelyikről előzetesen úgy ítéltük meg, hogy a legkevésbé menne a ChatGPT-nek.
Adott a valós számok halmazán értelmezett f függvény f(x)=(x+3)^2-2,25.
a) Mit rendel az f az x=1 hez?
b) Adja meg az f függvény zérushelyeit!
c) Az alábbi mondatban válassza ki a megfelelő szót (maximuma vagy minimuma), és egészítse ki a mondatot a pontozott helyeken a hiányzó számokkal úgy, hogy igaz állítást kapjon!
Az f függvénynek az x=......... helyen minimuma/maximuma van, melynek értéke ........ .
d) Adja meg az alábbi állítás logikai értékét (igaz vagy hamis)!
Az f függvény értékkészlete a valós számok halmaza.
a) Az f(1) értéke: f(1) = (1+3)^2 - 2,25 = 16 - 2,25 = 13,75.
b) Az f függvény zérushelyeit kell meghatározni, azaz azokat az x értékeket, amelyekre f(x) = 0.
f(x) = (x+3)^2 - 2,25 = 0
(x+3)^2 = 2,25
x+3 = ±√2,25
x₁ = -3 + √2,25 ≈ -0,75
x₂ = -3 - √2,25 ≈ -5,25
Tehát az f függvény zérushelyei kb. -0,75 és -5,25.
c) Az f függvénynek az x=-3 helyen van minimuma/maximuma. Az értéke pedig f(-3) = (-3+3)^2 - 2,25 = -2,25.
Tehát az f függvénynek az x=-3 helyen van minimuma, melynek értéke -2,25.
d) Az állítás hamis. Az f függvény értékkészlete legalább 0 és végtelen közötti valós számok halmaza, mert a f függvény sosem lehet negatív értékű, mivel az (x+3)^2 mindig nemnegatív, és az -2,25-től kisebb értéket sosem vesz fel.
Az a) feladatrészre hibátlan a megoldása, azért jár a 2 pont. A b) feladatrésznél már megint kirí, hogy „segítőtársunk” nem tud mit kezdeni az egyenletekkel, ugyanis jól írja fel azt, hogy a megoldáshoz a függvényt egyenlővé kell tenni nullával, viszont amikor azt rendezgeti, tévútra tér. Egészen pontosan akkor, amikor a 2,25 gyökét próbálja meg kiszámítani. Így mind az x1-re, mind az x2-re hibás eredményei születnek. Viszont a javítási útmutató szerint 2 pont így is jár neki.
A c) feladatrészt helyesen oldja meg, jól veszi észre, hogy a f függvénynek x=-3 helyen van inflexiós pontja (a Chat GPT szóhasználatával élve „minimuma/maximuma”, amelyek közül valamiért nem választ elsőre...). Viszont az értéket és a megfelelő szót is jól választja ki, így jár a 3 pont.
A d) feladatrész kapcsán is jól veszi észre, hogy az állítás hamis, így jár a 2 pont.
(A feladatot az érettségin szereplő vizuális segédlet nélkül tápláltuk be a rendszerbe.)
Az ABCD téglalap AB oldalának hossza 12 cm, a BC oldal hossza 6 cm. A téglalapba az AECF rombuszt írjuk az ábrán látható módon (E az AB oldal, F a CD oldal egy pontja).
a) Igazolja, hogy a rombusz oldalainak hossza 7,5 cm!
b) Számítsa ki a rombusz belső szögeinek nagyságát!
c) Hány százaléka a rombusz területe a téglalap területének?
a) A rombusz egyenlő oldalú trapéz, mivel a párhuzamos oldalai (AE és CF) egyenlőek, a szemközti oldalai (AC és EF) pedig egyenlő hosszúak és párhuzamosak egymással. Az AE és CF oldalak hossza az AB oldal fele, vagyis 6 cm, a BC oldal pedig a rombusz átlójának felel meg, vagyis szintén 6 cm. A trapéz magassága a téglalap AB oldalának hossza, vagyis 12 cm. A trapéz területének képlete: A=((a+b)*h)/2 Ahol a és b az alapok hossza, h a magasság. Tehát a rombusz területe: Ar=((6+6)*12)/2=72 A rombusz átlójai fele akkor 7,5 cm hosszúak.
b) Mivel a rombusz átlói merőlegesek egymásra, az átlók felezik egymást. Tehát az $AECF$ rombusz átlóinak felezőpontja a rombusz középpontja, mely jelölje $O$-val. Ekkor $EO$ és $FO$ a rombusz szögeinek szögfelezői, vagyis $\angle EOA = \angle AOF = \frac{1}{2}\angle EOF$. De mivel a rombusz átlói merőlegesek, az átlókat tartalmazó négyzetek szögei összeadják 180 fokot, vagyis $\angle EOF = 90$ fok. Tehát $\angle EOA = \angle AOF = 45$ fok és a rombusz többi két szöge is 45 fok.
c) A rombusz területe az átlók szorzatának fele, vagyis Ar=1/2*AC*EF=1/2*12*6=36 A téglalap területe pedig $12 \cdot 6 = 72$, így a rombusz területének aránya a téglalap területéhez: (Ar/At)=36/72=1/2=50% Tehát a rombusz területe a téglalap területének 50 százaléka.
Ez sajnos nulla pont. Ott véti a gép a hibát, hogy úgy gondolja, hogy az F pont felezi a DC egyenest, valamint hogy az E pont felezi az AB egyenest. Emiatt a bizonyítás se elfogadható, valamint mindegyik következő részfeladatot hibásan old meg.
Az ENSZ felmérése szerint a Föld népessége 8 milliárd fő volt 2022 végén. A Földön a népességnövekedés mértéke jelenleg körülbelül évi 1%.
a) Hány fő élne 2100 végén a Földön, ha addig folyamatosan évi 1% lenne a népességnövekedés?
b) Melyik évben érné el a 12 milliárd főt a Föld népessége évi 1%-os növekedés mellett?
Az ENSZ becslése szerint 2100 végére 10,35 milliárd fő lesz a Föld népessége.
c) 2022 végétől kezdve évente hány százalékkal kellene növekednie a népességnek ennek eléréséhez, ha minden évben ugyanannyi százalékkal nőne a népesség?
a) A népesség mértani sorozatban növekszik évente 1%-kal, azaz minden évben az előző év népességének 1,01-szeresére nő. Tehát az n évi népesség:
N(n) = 8 × 1,01^n
Ha n = 78 év (2100 vége - 2022 vége), akkor
N(78) = 8 × 1,01^78 ≈ 22,47 milliárd fő
Tehát 2100 végén kb. 22,47 milliárd ember élne a Földön, ha az évi 1%-os növekedés folytatódna.
b) Azt kell megkeresni, hogy melyik évben lesz a Föld népessége 12 milliárd fő, ha évi 1%-os növekedés van. A népesség mértani sorozatban nő, azaz a n-edik évben a népesség az előző év népességének 1,01-szerese lesz. Tehát a keresett évet az alábbi egyenlettel lehet meghatározni:
8 × 1,01^n = 12
1,01^n = 1,5
n = log(1,5) / log(1,01) ≈ 46,02
Tehát az 1%-os növekedéssel a Föld népessége kb. 46 év múlva, azaz 2068-ban éri el a 12 milliárd főt.
c) Azt kell meghatározni, hogy évente mennyivel kellene nőnie a népességnek ahhoz, hogy 2100 végén elérje a 10,35 milliárd főt, ha minden évben ugyanannyi százalékkal nőne a népesség. Legyen ez az éves növekedési ráta r. Ekkor az n-edik év végén a népesség az alábbi módon adódik:
N(n) = 8 × (1 + r/100)^n
Ha 78 év múlva, azaz 2100 végén a népesség eléri a 10,35 milliárd főt, akkor
10,35 = 8 × (1 + r/100)^78
(1 + r/100)^78 = 1,29375
1 + r/100 = (1,29375)^(1/78)
r ≈ 0,65
Tehát évente kb. 0,65%-kal kellene nőnie a népességnek ahhoz, hogy 2100 végén elérje a 10,35 milliárd főt.
A gép jól indul el, átlátja az a) részfeladatot, viszont amikor (az egyébként helyesen felírt) egyenletet kell kiszámolni, elvérzik. 17,38 helyett valahogy 22,47 milliárd jön ki neki. Viszont a javítási útmutató szerint 2 pont jár neki. A b) feladatrésznél hasonló a helyzet. Jól látja át, jól rendezi, de nem tudja rendesen kiszámolni, 40,74 helyett valahogy 46,02 jön ki „neki”, így bár hiába folytatja jól, de hibás végeredményre jut. Viszont itt is jár 2 pont számára.
Ugyanez történik a c) feladatrésznél is. Jól értelmezi a kérdést, jól rakja össze az egyenletet, de elvérzik annak a kiszámítása során. A helyes 0,33% helyett pedig 0,65% jön ki neki. Viszont itt 3 pont jár számára a javítási útmutató szerint a részlegesen helyes megoldására.
(Itt elértünk az utolsó három feladathoz, amelyek közül csak kettőt kell a diáknak megoldania. A feladatok áttekintése után úgy véltük, hogy a 18. fogna ki rajta a leginkább, ugyanis annál se tudtuk volna betáplálni a két ábrát.)
A középszintű matematika érettségi vizsgán minden vizsgázó pontosan két feladatot választ a 16-17-18. feladatok közül. Az egyik 24 fős érettségiző csoportban a vizsgázók 75%-a választotta a 16-os, 62,5%-a pedig a 17-es feladatot.
a) A csoportban a vizsgázók hány százaléka választotta a 18-as feladatot?
A csoportban az alábbi osztályzatok születtek a matematika középszintű vizsgán:
1-es osztályzat 0 darab.
2-es osztályzat 2 darab.
3-as osztályzat 9 darab.
4-es osztályzat 6 darab.
5-ös osztályzat 7 darab.
b) Számítsa ki az osztályzatok átlagát ebben a csoportban!
c) Adja meg az osztályzatok móduszát, mediánját és terjedelmét ebben a csoportban!
d) Ábrázolja kördiagramon az osztályzatok eloszlását ebben a csoportban!
Az érettségi elnök a javítások átnézése céljából a fenti 24 matematikadolgozat közül kiválaszt nyolcat úgy, hogy 2-esből, 3-asból, 4-esből és 5-ösből is pontosan kettő szerepeljen a kiválasztottak között.
e) Hányféleképpen választhat ki ilyen módon nyolc dolgozatot?
a) Az összes vizsgázó két feladatot választott, és a 16-os feladatot választók aránya 75%, tehát a 16-os feladatot választók száma:
24 * 0,75 = 18 fő.
Hasonlóan, a 17-es feladatot választók száma:
24 * 0,625 = 15 fő.
A csoportban összesen 48 feladatot választottak ki, mivel minden vizsgázó két feladatot választott. Mivel az összesen kiválasztott feladatok száma megegyezik a választott 16-os és 17-es feladatok számának összegével és a 18-as feladat kiválasztásával, így az 18-as feladatot választók száma:
48 - 18 - 15 = 15 fő.
Tehát a csoport 18-as feladatot választóinak aránya:
15 / 24 * 100% ≈ 62,5%.
b) Az összes osztályzatot összegezve és elosztva a darabszámmal:
(2 * 2 + 3 * 9 + 4 * 6 + 5 * 7) / 24 = 3,875.
Tehát az osztályzatok átlaga kb. 3,875.
c) Az osztályzatok módusza a leggyakoribb osztályzat, ami ebben a csoportban 3. Az osztályzatok mediánja az 5-ös és a 3-as osztályzat közötti érték, azaz 4. Az osztályzatok terjedelme a legkisebb és legnagyobb osztályzat közötti különbség, azaz 5 - 2 = 3.
e) Az ilyen módon kiválasztható nyolc dolgozat kiválasztásának a száma a következő:
C(2,2) * C(9,2) * C(6,2) * C(7,2) = 1 * 36 * 15 * 21 = 11340.
Tehát 11340 féle módon választhatunk ki nyolc dolgozatot.
Az a) feladatrészt helyesen oldja meg, jár érte a 4 pont. A b) feladatrészben jól írja fel, hogy hogyan kéne kiszámolni a megoldást, viszont nem tudja azt helyesen végrehajtani, az általa (helyesen) felírt egyenletnek rossz eredményt ad megoldásul, így 1 pont jár neki. A c) feladatrészben a móduszt helyesen határozza meg, a mediánt bár nem megfelelően vezeti le, de helyes eredményre jut, A terjedelmet pedig teljesen helyesen adja meg. 3 pont. A d) feladatrészben nem tudja ábrázolni kördiagramon az osztályzatok eloszlását, így az nulla pont, az e) feladat részt pedig helyesen oldja meg. 4 pont.
Az ABCD trapéz AB alapja 24 cm, a többi oldala 12 cm hosszú.
a) Igazolja, hogy a trapéz A csúcsánál lévő belső szög 60 fokos!
b) Számítsa ki a BD átló hosszát!
A trapézt megforgatjuk a szimmetriatengelye körül.
c) Számítsa ki a keletkező forgástest térfogatát!
Egy trapéz alakú területre szőlőt telepítettek, az első sorba 120 szőlőtőkét, az utolsóba 240-et. A második sortól kezdve minden sorba ugyanannyival több szőlőtőke került, mint az előzőbe. Összesen 7380 darab szőlőtőkét ültettek el.
d) Az első 20 sorba kizárólag olaszrizlingtőke került, és máshova ebből a fajtából nem ültettek. Számítsa ki a telepített olaszrizlingtőkék számát!
A gép a második részen 28 pontot ért el, az elsőn pedig 24-et, így összesen 52 pontot kapott a 100-ból. Mivel 40-59% a közepes, így kijelenthető, hogy
Nyitókép: Midjourney
A Nemzeti Közszolgálati Egyetem elindította Nemeskürty István Tanárképző Karát, amelyhez első, országosan is kiemelt gyakorlóiskoláját is megtalálta: az Óbudai Árpád Gimnáziumot, amelynek tantestülete nagy többséggel támogatta az NKE fenntartásába kerülést. Nánay Mihály rektori megbízottal, a gimnázium életében kiemelkedő szerepet játszó tanárral a fenntartóváltást érő kritikákról és a tervekről beszélgettünk.
A GPS úgyis elnavigálja az embert – véli Európa leginnovatívabb régiójának zöldpárti vezetője. Francesca Rivafinoli írása.
Furcsának tűnhet az összefüggés, de nagyon is logikus.
A nyolcadik évad első epizódjában négy külföldi származású személyt mutatnak be, akik a Kárpát-medencében leltek otthonra.
Vajon mennyire veri át a híveit az, aki Angliában gúnyolódva hanyatlónyugatozik, azt sugallva, hogy ott minden rendben – Magyarország ellenben mindjárt összeomlik? Francesca Rivafinoli írása.
A Kárpát-medencében élő, de külföldi származású embereket mutatnak be, akik itt leltek hazára az évek során.
Hogyan zsarolhatja Magyar Pétert a telefonlopás miatti mentelmi ügyével Manfred Weber és az Európai Néppárt?
Az amerikai elnök szerint már nagyon közel egy találkozó az orosz elnökkel.
